この記事で、ことしの4月6日は震災の年(2009年)と同じ曜日、つまり月曜日だと聞いたので、色々調べてみました。
この記事によると2009年の場合、最短で6年後(2015年)に一致するそうなので…
2009年→月曜日
2010年→火曜日
2011年→水曜日
ここでうるう年を挟む
2012年→金曜日
2013年→土曜日
2014年→日曜日
2015年→月曜日
ここで一致しましたね。
ここでもう一度うるう年を挟みます。
2016年→水曜日
2017年→木曜日
2018年→金曜日
2019年→土曜日
ここでもう一度うるう年を挟み…
2020年→月曜日
となるのです。
ここまで書き出さなくても、うるう年でない年は1個曜日がずれ、うるう年になる年は2つ曜日を飛ばせば良いだけなのですが。
検証しただけの記事ではつまらないので、法則性を見つけてみましょう。
うるう年になる年、うるう年から1年後の年、2年後、3年後…とパターンがあります。
2009年は、うるう年から1年後の年だったので、6年後にはじめて一致します。
そこからは5年後に一致しましたね。
もしもうるう年が4年に1度だけくるものと仮定したら、この周期は6年→5年→6年→11年という周期になるそうです。
実際は、うるう年になる年とならない年というのはもう少し複雑なルールがあります。原則4で割り切れる年（2004年、2008年など）はうるう年になります。ただ、100で割り切れる年（1900年、2100年など）はうるう年にはなりません。しかし、400で割り切れる年（1600年、2000年など）はうるう年になります。だから実際はもう少し複雑なのです。
ただ、「4年に1度うるう年になる」というその法則が崩れるのは、最短で2100年になるので、私達が生きている時代について考えるときにこれは無意味でしょう。
では、証明してみましょう。なお、私は数学Ⅱ・Bまで履修しました。本当は数Ⅲも履修したかったのですが、いろいろな関係でできませんでした…。文系科目しかない大学に入ってしまったので、大学で数Ⅲを履修することはできないのです…。
この証明においては、「4年に1度うるう年になる」ということにしてあります。
まず、2004年はうるう年です。つまり2004は4で割り切れるということなので、2004=4nとおきます。（nは自然数）
2005年はうるう年ではありません。2005を4で割ると1余るので、2005=4n+1とおきます。
同様に、2006=4n+2, 2007=4n+3, 2008=4n+4とおけます。ここで4n+4は4(n+1)とおけます。ここでn+1をNとおくと、2008=4(n+1)=4Nとなります。ここでn+1が自然数なので、Nは自然数です。よって4N(=2008)は4の倍数になるので、2008年はうるう年です。
次に、曜日は、うるう年のことを考えないと、7年で同じ曜日になります。
2004年を7m曜日とすると、2005年は7m+1曜日になり、2006年は7m+2曜日…となります。これが7m+7曜日となれば、7m+7=7(m+1)となるので、7の倍数となり。曜日が一致します。
ただ、曜日の場合は少し複雑で、平年（うるう年ではない年）の場合は1増え、うるう年の場合は2増えるのです。
2007年はうるう年ではないので、2006年の数字に1を足して、7m+3となり、2008年は7m+4…となります。
ただ、表題通り2009年を起点としてやり直してみましょう。先ほどのnをaとし、mをbとします（数字が違うため）。
2009年はうるう年（2008年）の1年後なので、2009=4a+1（年）となります。
曜日については、2009年が起点なので、7b（曜日）となります。
2010年は4a+2, 7b+1
2011年は4a+3, 7b+2
2012年はうるう年になるので、4(a+1), 7b+4
ここで4(a+1)の定数項は0なので、2012年がうるう年になることが証明できます。
2013….4a+5, 7b+5
2014…4a+6, 7b+6
2015…4a+7, 7b+7
最初の計算では、2015年の曜日が一致するというのでしたね。
7b+7=7(b+1)なので、7の倍数となり、曜日が一致します。
2016…4(a+2), 7b+9
ここで4(a+2)は定数項が0なので、うるう年ですね。
2017…4a+9, 7b+10
2018…4a+10, 7b+11
2019… 4a+11, 7b+12
2020… 4a+12, 7b+14
= 4(a+3), 7(b+2)
bに関する項が定数項になったので、2009年と曜日が一致します。
次に2026年が曜日が一致するようなのですが、
2026… 4a+18, 7b+21
7b+21=7(b+3) よって曜日が一致します。
次に一致するのは2037年なのですが、
2037… 4a+29, 7a+35
7a+35=7(a+5)なので曜日が一致します。
ここで、2009年の28年後が2037年なので、ここで4と7の最小公倍数である28年が経ったことから、この後は同じ周期を繰り返します。
ここで数字を並べてみましょう。<>を定数項の値とします。
2009= [4a+1, 7b] = <1, 0>
2015= [4a+3, 7b+7] = [4a+3, 7(b+1)] = <3, 0>
2020= [4a+12, 7b+14] = [4(a+3), 7(b+2)] = <0, 0>
2026= [4a+18, 7b+21] = [4(a+4)+2, 7(b+3)] = <2, 0>
2037= [4a+29, 7b+35] = [4(a+8)+1, 7(b+5)] = <1, 0>
ここから2009年が <1, 0> となり、4と7の最小公倍数である28年後に <1, 0> となることから、28k年後（kは自然数）には曜日は必ず一致します。
よって、2065年には曜日は一致します。2065年から28年後の2093年にも一致します。これ以降は一致しなくなります。なぜなら2100年は実際にはうるう年ではないのに、うるう年として計算しているからです。ただし、400年周期では必ず一致します。試しに確かめてみると、2409年、2809年、3209年は全て2009年と曜日が一致します。ちなみに、Googleで「2009年4月6日 曜日」と検索すると、月曜日だとわかります。同様に曜日を調べるとわかります。
ここでもう一度見てみましょう。
2009= [4a+1, 7b] = <1, 0>
2015= [4a+3, 7b+7] = [4a+3, 7(b+1)] = <3, 0> = 6年後
2020= [4a+12, 7b+14] = [4(a+3), 7(b+2)] = <0, 0> = 5年後
2026= [4a+18, 7b+21] = [4(a+4)+2, 7(b+3)] = <2, 0> = 6年後
2037= [4a+29, 7b+35] = [4(a+8)+1, 7(b+5)] = <1, 0> = 11年後 = 2009年から28年後に <a> の値つまり「年の数字を4で割ったあまり」が一致する。
証明完了！
コメント / Commentare